미분적분학 - 이중적분 (극좌표)

안녕하세요 뚜르입니다.

오늘은 요청에 의하여

미분적분학 (칼큘러스)의 이중적분 중 극좌표계에 대해서

다루어보도록 하겠습니다.

극좌표문제는 부피값을 구하는 식이라고

보시면 편합니다.

특히나 특정 모형에 대한 퀴즈식이라거나

식들이 나오는데

심장형, 장미형 등등 재밌는 모형들이 나오는

식들이 많습니다.

극좌표계에서는 범위가 삼각함수로 대부분 나오게 됩니다.

예시를 들자면...

 부피이며

면적은

라는 것입니다.

결국에는

이렇게 바뀌며 x와 y를 

로 바꿔준다라고 보시면 되겠습니다.

하지만 여기서 문제는 범위를 구하는 것에 있습니다.

일단은 그림을 그려야 합니다.

그 후에 r의 적분구간을 구합니다.

우리가 고등학생때 삼각함수 문제를 풀 때

1~4사분면에 따라서 각 사분면에 따라서 각도와

계산식이 달라지는 것을 보셨을 건데 그것과 같습니당

예제를 보면서 보도록합시다.

양변을 제곱해보면 반지름 길이가 1인 원이라는 것을

알 수가 있습니다.

일단 범위부터 봅시다.

r범위는 1부터 0까지라는 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

(저 함수의 그림을 그릴 줄 모르신다면 그냥..뒤로가기 후 다음 학기에 다시 들으삼)

게다가 세타의 범위 역시도 1,2사분면인

0~π 라는 것도 보입니다.

Thus

r에 대해서 정적분 후

세타에 대해서 다시 정적분해주면 되는

쉬운 문제였죠.

하나 더 봐볼까요

위 그림에서 1사분면에 있는

녀석을 찾으면 됩니다.

식을 만들어봅시다.

아 전 블로그에서는 치졸하게 샤프로 풀었었네요 ㅋ

(중간의 적분표시없이 나온 부분은 제가 계산하는 과정일 뿐이니 신경 ㄴㄴ)

결국에는 주어진 식의

범위를 구할 수 있느냐 없느냐가

중적분 극좌표계의 핵심이라고 볼 수 있겠네요 ㅎ

특히나 삼각함수 식이 나올 적에는

반드시 유명한 그림들이 나오는 경우가 많으니

유명한 공식들은 외워두도록 합시다.

공대감성을 원하신다면 하트모양 식을 외운 후

관심있는 여자에게 알려주세요 

그리고 울프럼알파에 식 쳐보라고 ㄱㄱ

(그리고 그들은 두번다시 만나지 못하겠지)

오늘은 여기까지!

댓글과 공감은 사랑입니다♡