공업수학 - 변수분리 법 (1계상미분방정식)

안녕하세요 뚜르입니다.

공업수학의 첫번째 단원인 변수분리법에 대해서

오늘은 알아보겠습니다.

미분방정식의 가장 첫번째인 1계 상미분방정식의

시작이자, 끝이라고도 볼 수 있는 단원인데요.

이유인즉슨 왠만한 미분방정식 문제는 변수분리법으로 풀 수 있기 때문입니다.

물론 다른 단원들을 배우는 이유는 대다수의 문제 이외의

특별한 문제들을 풀기 위한 단원이지요.

그럼 가보겠습니다.

우선 1계란 미분이 한 번 되어져 있는 경우를 말합니다.

y -> y' 를 1계라고 하지요.

그리고 미분방정식에서 가장 중요한 것 중 하나인

편미분이라고 있는데 잠시 보고 가겠습니다.

라는 식이 있을 때

x에 대하여 미분을 하면

y'=2 라는 식을 얻게 되지요?

이를 x에 대해서 편미분 한다! 라고 말하게 되면

y는 상수취급을 받게 되고 0이라는 값을 얻게 됩니다.

미분방정식에서는 이러한 편미분을 많이 사용하기 때문에

가장먼저 알아두고 가시길 바라겠습니다.

변수분리법

여기서 변수분리법이란 무엇인지 간단히 짚고 넘어가죠.

말 그대로 변수를 분리하여 해를 알아내자~

라는 뜻입니다.

여기서 변수란

와 같이 y' 을 분수꼴의 변수로 쪼개어서 푸는 방법을 말합니다.

고등학교 과정만 배웠어도 쉽게 풀 수 있으며

특수한 문제를 제외하고 모든 유형의 문제를 풀 수 있습니다.

그럼 문제를 풀면서 가볼까요?

(티스토리는 수식입력에서 한글을 못쳐서 불편하네요)

초기값 문제입니다.

여기서 초기값이란 말이 생소할 수 있지만

그냥 대입하는 문제라고 보시면 됩니다.

대학 수학은 괜시리 말만 , 수식만 어렵게 해놔서

이해하기 어려운거지.

실제로 중고등학교 수학책처럼 쉽게 말하면 

솔직히 이해못할 거 없습니다.

y(0)이란 것은 걍 x에 0 집어 넣었더니 y값이 5.7이 나왔다 이겁니다.

분수식을 없에기 위하여 양변에 dx 곱하고 나서

y는 y끼리 x는 x끼리 변을 나눠줍니다.

이제 양변을 적분해줍니다.

(c는 적분상수)

위의 식이 이 문제의 '일반해' 라고 부릅니다.

그치만 초기값문제는 초기값을 넣어서

나온 특수해를 찾는 문제입니다.

뭐 딱히 특수해라고 해봤자 이름만 거창하지

걍 답 찾는 겁니다.

x에다가 0을 넣어줍니다. y에는 5.7을 넣어줍니다

e의 0승은 1이므로 

5.7 = c

가 되겠고

가 최종값이 되겠습니다.

하나 더 풀어보도록 하지요.

꽤 귀찮게 생겼습니다. 아마 시험에서는 단골문제일듯

그치만 막상 해보면 별 거 아닙니다.

부분적분을 아셔야 합니다.

부분적분공식

변수분리부터 들어갑니다.

퓨.. 이렇게 계속 부분적분만 하다간 끝이 없습니다만

바로위의 식의 마지막 적분 부분이 우리가 구하려고 했던

첫식과 같다는 것을 눈치채셨을 겁니다.

그러니까 우린 부분적분 해줄 필요없이 걍 y를 넣어줄 수 있습니다.

이항하고 정리를 해줍니다.

(C는 적분상수)

이렇게 일반해가 나왔습니다~

조금 시간이 걸리긴 하지만

풀이자체가 어렵다거나 하지는 않지요?

보충문제를 넣고 싶긴한데 한글을 수식에 못쓰니

넘 귀찮네용 ㅋㅋ

그럼 오늘은 여기까지~