완전미분방정식 - 적분인자 및 검증법

안녕하세요 뚜르입니다.

오늘은 공업수학에서 많은 이들이 첫 좌절하는 구간인

완전미분방정식에서 적분인자를 찾는 방법과

완전미분방정식의 검증법에 대해서 알아보겠습니다.

변수분리법은 쉽기 때문에 

'오 공업수학 할만 한데?'

라고 착각하기 쉽지만....

완미방에 오면서 많이들 ㅠ.ㅠ (C언어에서의 포인터같달까..)

완전상미분방정식이란?

꼴의 미분방정식을 이야기합니다.

쉽게 이야기하여 예시를 보자면

뭐 이런 형태입니다.

예제를 보겠습니다.

위 예제 역시 dx와 dy란으로 나뉘어져있는데요.

완미방은 풀기전 이 식이 정말로 완전미분방정식의 형태인지 알아봐야합니다.

그것은 '검사' 혹은 '검증법' 이라고도 합니다.

방식은 편미분을 이용합니다.

이 앞부분이 dx이므로 y를 기준으로 미분해준 결과 (M 이라고 할게요)

이 부분을 dy이니까 x에 대해서 미분해준 결과 (N이라고 하겠음)

이렇게 나온 M = N 일 때 

이 식을

'완전미분방정식'의 완전한 형태라고 합니다.

하지만 이렇게만 된다면 어렵다고 하지들 않겠죠.

반드시 같지가 않습니다. 그러므로

같지 않을 때 같도록 만들어주는 '적분인자' 라는 녀석을

곱해주어야 하는데요.

예시를 통하여 알아보도록 하겠습니다.

             

P                     Q

미분하기 전 dx와 dy 앞의 식을 P Q라고 불러보겠습니다.

자 일단 처음엔 편미분부터 해줘보도록 하죠.

 (P를 y에 대해서 미분하고 Q를 x에 대해서 미분한 값)

자 두 값이 같지가 않습니다.

적분인자를 찾아서 곱해줘야합니다.

적분인자 공식은 다음과 같습니다.

식이 약간 다르게 두가지 입니다.

두가지 다 알아야하는데 그 이유인즉슨..

두번째 식으로 적분인자를 찾아봐준다면..

이런 식으로 약분이 되지가 않습니다 -_ㅠ

하지만 첫번째 1/P로 해준다면?

(e^int 는 제외하고 하겠습니다 가독성을 위해)

요로코롬 딱 떨어지게 되네요!

이렇게 적분인자가 만들어지게 됩니다.

그럼 만들어진 적분인자를 처음 식에 곱해보도록 하지요.

곱해진 식의 P Q 부분을 편미분해서 검사해보겠습니다.

로 완전미분방정식이 완성된 것을 볼 수 있습니다.

오늘은 간단하게 적분인자 찾는법에 대해서 알아보았는데요.

다음에는 바로 해법에 들어가도록 하겠습니다.